0是自然数吗为什么

?词语解释 ????|???? ?2021-05-25 22:09
鉴于大批中小学生父母都曾经被这个问题困惑过,有必要作个解释。
古典自然数概念不包含0这个数字,学生家长们从小受到的教育也都是这么说的。当年的小学生如今为人父母,看见现行中小学数学教材,要么断定教育部胡说八道误人子弟,要么怀疑自己打小学的是假数学。事实上,最新的自然数定义是由ISO在2009年给出的(ISO 80000-2:2009,全名为“数值与单位——第二部分:应用于自然科学与技术中的数学记号和符号”,Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology)。
ISO修改了自然数定义后,中小学教材当然也必须做修改。问题是教育部修改了教材,却没有对修改原因和自然数概念的历史渊源做任何解释,引发误解也就在所难免。误人子弟虽然未必,混肴视听的罪名是跑不了的。
那么ISO为什么要修改自然数的定义?原因有三。首先,自然数是数学体系中最基础的概念,而0是10个基本计数符号之一?;炯剖挪话谧罨〉娜朊殴勰罾?,怎么都有点说不过去。其次,0在加法运算中具有不变性,而不变性是现代数学最重要的观念之一,有必要体现在任何数学概念里。最后,带余除法是自然数基本运算法则之一,如果没有0就无法完整解释带余除法。所以这个修改虽然颠覆了绝大多数人几十年来根深蒂固的习惯思维方式,从教育上讲还是有必要的。
Natural Number这个名字具有一定的迷惑性,暗示它好像是天经地义的,是先于人类,在创世之初就存在的。但我老人家早就科普过无数次,数学中不存在任何天经地义的观念。再“自然”的自然数,也必须有个规范化的严格定义。现代自然数的定义是由意大利数学家居塞皮·皮亚诺(Giuseppe Peano, 27 August 1858 – 20 April 1932)在1889年给出的。
0是自然数吗为什么
自然数之父
皮亚诺一共使用九条公理,对自然数做出了最严谨最规范的定义??梢运嫡鱿执逑刀际墙⒃谡饩盘豕碇系?。皮亚诺公理的第一条即规定“1是第一个自然数”。这也就是学生家长们打小认定“0不是自然数”观念的由来。
皮亚诺刚刚提出他的九公理体系后不久就有人提出异议,认为应该把0作为第一个自然数。事实上第一个自然数无论是0还是1,对整个自然数体系的逻辑架构都没有影响。但是出于对创始人的尊重,人们把自然数的经典定义沿用了整整120年。
下面附录经过ISO修改过的皮亚诺九公理。对数学基础观念有兴趣的人可以了解下。
皮亚诺九公理1:自然数的存在性
公理1:自然数体系中至少包含一个元素,这个元素是0。
皮亚诺九公理2-5:等号的定义
公理2:若x是自然数,则x=x。
公理3:若x,y都是自然数,且x=y,则y=x。
公理4:若x,y,z都是自然数,且x=y,y=z,则x=z。
公理5:若x是自然数,且y=x,则y是自然数。
皮亚诺九公理6-8:自然数的局部结构
公理6:每个自然数x都有一个唯一的后续,记做x+1,自然数的后续也是自然数。
公理7:若自然数x=y,则必有x+1=y+1,反之亦然。
公理8:0不是其他任何自然数的后续,即不存在自然数x,使得x+1=0。
皮亚诺九公理9:自然数的整体结构
公理9:数学归纳法。
  
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